حل تمرین صفحه 120 ریاضی دوازدهم تجربی

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 120 - تمرین 1 در این مسئله می‌خواهیم با داشتن یک مساحت ثابت، هزینه دیوارکشی را که برای ضلع‌های مختلف متفاوت است، **بهینه‌سازی** کنیم. **گام اول: مدل‌سازی ریاضی** فرض کنیم طول مزرعه (ضلع شمالی و جنوبی) $x$ و عرض آن (ضلع شرقی و غربی) $y$ باشد. مساحت مستطیل برابر است با: $xy = 10000$ که از اینجا نتیجه می‌گیریم $y = \frac{10000}{x}$. **گام دوم: نوشتن تابع هزینه (قسمت الف)** هزینه کل ($C$) شامل هزینه دو ضلع شمالی-جنوبی و دو ضلع شرقی-غربی است: $C = 2(2x) + 2(8y) = 4x + 16y$ حالا به جای $y$ مقدار معادل آن را قرار می‌دهیم تا تابع تنها برحسب $x$ باشد: $C(x) = 4x + 16(\frac{10000}{x}) = 4x + \frac{160000}{x}$ **گام سوم: یافتن ابعاد بهینه (قسمت ب)** برای کمترین هزینه، باید از تابع هزینه مشتق بگیریم و آن را برابر صفر قرار دهیم: $C'(x) = 4 - \frac{160000}{x^2}$ $4 - \frac{160000}{x^2} = 0 \Rightarrow 4 = \frac{160000}{x^2} \Rightarrow 4x^2 = 160000$ $x^2 = 40000 \Rightarrow x = 200$ حالا عرض را پیدا می‌کنیم: $y = \frac{10000}{200} = 50$ بنابراین برای رسیدن به **حداقل هزینه**، ابعاد مزرعه باید **۲۰۰ متر** (طول) و **۵۰ متر** (عرض) باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 120 - تمرین 2 در این تمرین به دنبال یافتن **بیشترین مساحت** یک محوطه مثلثی با محدودیت طول نرده هستیم. **گام اول: مدل‌سازی (قسمت الف)** فرض کنید دو ساق مثلث $a$ باشند. چون قاعده روی رودخانه است، فقط دو ساق نیاز به نرده‌کشی دارند. بنابراین: $2a = 100 \Rightarrow a = 50$. در مثلث متساوی‌الساقین، اگر زاویه بین دو ساق را $\theta$ در نظر بگیریم، مساحت برابر است با: $S = \frac{1}{2} a^2 \sin(\theta)$ $S = \frac{1}{2} (50)^2 \sin(\theta) = 1250 \sin(\theta)$ بیشترین مقدار $\sin(\theta)$ برابر ۱ است که در زاویه $90^\circ$ رخ می‌دهد. پس بیشترین مساحت برابر **۱۲۵۰ متر مربع** است. **گام دوم: حل بدون مشتق (قسمت ب)** از آنجایی که طول دو ساق ثابت است (هر کدام ۵۰ متر)، مساحت مثلث زمانی بیشینه می‌شود که دو ساق بر هم عمود باشند (زاویه بین آن‌ها قائمه باشد). در این حالت مساحت مثلث قائم‌الزاویه برابر است با: $S = \frac{1}{2} \times 50 \times 50 = 1250$.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 120 - تمرین 3 هدف این تمرین محاط کردن مستطیلی با **بیشترین مساحت** زیر یک منحنی سهمی است. **گام اول: تعیین ابعاد مستطیل** اگر مختصات یکی از رئوس روی سهمی را $(x, y)$ در نظر بگیریم، با توجه به تقارن سهمی نسبت به محور $y$ها، طول مستطیل $2x$ و عرض آن $y$ خواهد بود. رابطه عرض مستطیل با $x$ طبق ضابطه سهمی عبارت است از: $y = 12 - x^2$. **گام دوم: تشکیل تابع مساحت** مساحت ($A$) حاصل‌ضرب طول در عرض است: $A(x) = (2x)(12 - x^2) = 24x - 2x^3$ **گام سوم: بهینه‌سازی با مشتق** از تابع مساحت مشتق گرفته و آن را مساوی صفر قرار می‌دهیم: $A'(x) = 24 - 6x^2$ $24 - 6x^2 = 0 \Rightarrow 6x^2 = 24 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ حالا ابعاد را به دست می‌آوریم: **طول مستطیل:** $2x = 2(2) = 4$ **عرض مستطیل:** $y = 12 - (2)^2 = 12 - 4 = 8$ بنابراین ابعاد مستطیل برای داشتن بیشترین مساحت، **۴ در ۸** می‌باشد.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 120 - تمرین 4 در این مسئله می‌خواهیم ابعاد کل کاغذ را طوری انتخاب کنیم که با وجود حاشیه‌ها، مساحت کل کاغذ **کمترین** (بهینه‌ترین) مقدار باشد. **گام اول: متغیرها و روابط** فرض کنید طول و عرض قسمت متن به ترتیب $x$ و $y$ باشند. مساحت متن: $xy = 32 \Rightarrow y = \frac{32}{x}$. ابعاد کل صفحه با احتساب حاشیه‌ها عبارتند از: عرض کل صفحه: $x + 1 + 1 = x + 2$ طول کل صفحه: $y + 2 + 2 = y + 4$ **گام دوم: تشکیل تابع مساحت کل** $S = (x + 2)(y + 4)$ با جایگذاری $y$: $S(x) = (x + 2)(\frac{32}{x} + 4) = 32 + 4x + \frac{64}{x} + 8 = 40 + 4x + \frac{64}{x}$ **گام سوم: یافتن نقطه بحرانی** از تابع مشتق می‌گیریم: $S'(x) = 4 - \frac{64}{x^2}$ $4 - \frac{64}{x^2} = 0 \Rightarrow 4x^2 = 64 \Rightarrow x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$ حالا ابعاد کل صفحه را محاسبه می‌کنیم: **عرض کل:** $x + 2 = 4 + 2 = 6 cm$ **طول کل:** $y + 4 = \frac{32}{4} + 4 = 8 + 4 = 12 cm$ بنابراین ابعاد بهینه برای هر صفحه **۶ در ۱۲ سانتی‌متر** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی دوازدهم صفحه 120 - تمرین 5 این یک مسئله کلاسیک برای یافتن **مسیر کمترین زمان** (نقطه تعادل بین سرعت و مسافت) است. **گام اول: تشکیل تابع زمان** زمان کل ($T$) برابر است با زمان حرکت در کنار پارک (با سرعت ۳) به علاوه زمان حرکت قطری از درون پارک (با سرعت ۲). مسافت روی لبه پارک: $200 - x$ مسافت قطری درون پارک (طبق فیثاغورس): $\sqrt{x^2 + 60^2}$ تابع زمان کل: $T(x) = \frac{200 - x}{3} + \frac{\sqrt{x^2 + 3600}}{2}$ **گام دوم: مشتق‌گیری برای بهینه‌سازی** $T'(x) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3600}} = -\frac{1}{3} + \frac{x}{2\sqrt{x^2 + 3600}}$ قرار دادن مشتق برابر صفر: $\frac{x}{2\sqrt{x^2 + 3600}} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3x = 2\sqrt{x^2 + 3600}$ طرفین را به توان دو می‌رسانیم: $9x^2 = 4(x^2 + 3600) \Rightarrow 9x^2 = 4x^2 + 14400$ $5x^2 = 14400 \Rightarrow x^2 = 2880 \Rightarrow x = \sqrt{2880} \approx 53.66$ بنابراین مقدار $x$ باید حدود **۵۳.۷ متر** باشد تا آروین در **سریع‌ترین زمان** به مقصد برسد.